周長定理(ハニーアイランド )
ハニーアイランドを解いていて1つの島の白マスがあと1つ足りない、などといった状況に出会うことが良くあります。
JPCのサンプル問題の解答でも
効率よく黒マスを使いましょう。
と書かれているように、
うまく島を広げていく必要がありそうです。
ここで、効率とは白マスと黒マスの外周に着目することで表すことができます。
便宜上、周囲が黒マスで囲まれていることとします。
https://gyazo.com/571ed9d2be6f24ffb71e07e087f63e3a
このときの、白マスと黒マスの境界の長さを考えることで、
黒マス同士が接している部分と白マス同士が接している部分の差が一定になる
ことが言えます。
そして、黒マスに囲まれた頂点(黒三角形)の数を数えることで許容される周長を求めることができます。
黒マスの三角形が1つ発生するごとに周長が1余分に消費されます
黒マスが辺に置かれるときにも1つ黒三角形が発生します
黒マスが六角形の頂点に置かれるときには黒三角形が2つ発生します。
黒マスが飛び地になっている部分は、白マスと黒マスの境界を6消費します。
飛び地は1マス移動させて、他の黒マスとくっつけたとみることもできます。
ハニーアイランドでよく発生する666665の状態からは白マスの周長を4増やす必要があるため、
白マスの周長を2減らし、黒マスの周長を2増やしたりなどする必要がある、などということができます。